一文领会DeFi恒定函数做市商（CFMM）的曲率权衡（一）_数字货币

[2021-01-31 21:39:37] 来源：编辑：wangjia 点击量：

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导读： 2019年Uniswap的崛起是DeFi交易的分水岭。Uniswap的简洁性、gas效率以及性能，使其迅速成为链上交易的主要场所。一文领会以太坊MEV危急Flashbots是一个关于矿工可提取价值

2019年Uniswap的崛起是DeFi交易的分水岭。Uniswap的简洁性、gas效率以及性能，使其迅速成为链上交易的主要场所。

一文领会以太坊MEV危急

Flashbots是一个关于矿工可提取价值（MEV）问题的研发组织，其旨在减轻MEV对智能合约区块链带来的负面影响，据悉，该组织提议建立一个无需许可、透明和公平的MEV提取生态系统，以强化以太坊的核心特性。

注：本文作者是Gauntlet创始人Tarun Chitra、placeholder研究员Alex Evans以及斯坦福电气工程博士Guillermo Angeris，原文标题为《Can one hear the shape of a CFMM?》

（显然，人们很难听出鼓的形状（Marc Kac，1966），那 CFMM呢？）

2019年Uniswap的崛起是DeFi买卖的分水岭。Uniswap的简洁性、gas效率以及性能，使其迅速成为链上买卖的主要场所。现在年头推出的Curve则注释，纵然是对恒定函数做市商（CFMM）的设计举行细小改变，也可以大幅提高资源效率及显示。特别是，Curve开创了局部更平滑的曲线，它为稳固币之间的买卖提供了较低的滑点。这一调整使得Curve能够捕获到大量的买卖量，同时又能在通例情形下逾越现有中央化买卖所和场外买卖平台。由于Curve的乐成，曲率越来越被认为是CFMM设计空间的组成部分。然而，曲率的选择对市场行为的确切影响，尚没有获得深入的研究。

在这一系列的文章中，我们最先提出CFMM曲率形状的看法。我们讨论了曲率选择对平衡价钱、稳固性、流动性提供者（LP）回报以及市场微观结构的影响。这些文章的看法，来自我们接下来会公布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》。我们会在该系列文章的第三篇公布时，同时揭晓这篇论文。

在第一篇文章中，我们将提供曲率的一个界说，并讨论其对流动性和价钱稳固性的影响。

2020年的炎天改变了CFMM的面目。很大程度上由于收益农耕（yield farming）流动的影响，CFMM市场越来越成为种种资产对最具流动性的市场。这就需要一个新的剖析框架来研究这些市场。我们发现曲率为研究CFMM主导市场提供了缺失的环节。当CFMM成为最具流动性的买卖场所时，其他买卖场所大多会凭据CFMM的价钱举行调整。我们框架的第一步，是领会流动性有限的场所若何相互影响。

两种市场模子

假设有两个买卖场所可以买卖给定的一个资产对。而其中一个买卖场所的流动性要比另一个更高。那我们若何模子化流动性的差异？一个简朴的演习就是考察牢固规模买卖的影响，若是相同规模的买卖导致一个市场的价钱转变大于另一个市场，我们就可以粗略地判断说“前者的流动性较低”。在CFMM的例子中，这个简朴的模子具有令人惊讶的形貌性。CFMM为每一个资产对都实现了一个特定的曲线，允许我们精确地形貌给定买卖的影响，这就是曲率的泉源。非正式地说，曲率形貌了CFMM在一笔小型买卖后讲述的价钱绝对转变。在其他条件相同的情形下，存储资金量较高的CFMM将显示出较低的曲率。然而，对于给定的存储资金值，一些CFMM的曲率要比其他的要低。通过对照Uniswap和Curve，我们就可以看出差异。从存储量相等的点最先，从下图可以看出，Uniswap在点x = y = 5处具有比Curve更高的曲率。

如我们所见，曲率为给定市场的流动性提供了一个优雅的模子。市场的曲率越低，给定买卖的价钱影响就越小。

大多数CFMM模子都假设流动性有限的CFMM和流动性无限的“参考”市场。这些模子注释，在相当普遍的条件下，CFMM的价钱将由套利者举行调整，以反映参考市场的价钱。这些模子在实践中显示优越，由于Uniswap与其他买卖场所的套利问题通常是凸性的，以是套利者可以轻松地弄清楚若何调整准备金以反映当前的市场价钱。该理论牢固了CFMM在种种链上应用中作为价钱预言机的使用（例如Uniswap v2预言机）。然而，在履历了2020年夏日CFMM的繁荣之后，我们需要一个能够更好地捕捉CFMM驱动市场现实的模子。

要做到这一点，请翻转剧本。假设我们有一个高流动性（低曲率）的CFMM和一个流动性较小（高曲率）的参考市场。参考市场可以基于CFMM、订单簿、报价请求系统、拍卖或任何组合。市场的选择不会影响模子，只要它具有非零曲率（有限的流动性）即可。若是两个市场的价钱差异，套利者可以通过在每个市场举行抵消买卖来赢利，直到两个市场讲述的价钱一致为止。若是两个市场的流动性相等，我们预计由此发生的无套利价钱将介于两个市场的买卖前价钱之间。然而，若是CFMM流动性更强，最终价钱将更靠近于CFMM套利前的报价。换句话说，若是CFMM的流动性显著高于参考市场，那么参考市场价钱的转变，对无套利价钱的影响较小。

要领会这一点，请思量下面的示例。我们有一个60:40的Balancer 池以及一个Uniswap池。对于同样价值的贮备资金，Uniswap池的的曲率会略低。为了强调差异，我们就假设Uniswap池稍大一些。在下图中，Balancer和Uniswap上的报价从差异的点最先（它们的切线斜率差异）。套利者在一个市场买入，在另一个市场卖出，直到两条切线的斜率相等。请注重，Balancer的价钱转变要比Uniswap池子的价钱转变更大，但差异并不是很大。这是由于这两个市场的曲率实际上相当靠近，只管Uniswap市场的贮备更高，权重也稍为平衡。

Uniswap和Balancer之间的套利

然后我们将对比工具换成一个Uniswap池，以及一个Curve池，它们具有大致相等的贮备资金。在这种情形下，Curve的价钱险些没有更改，而Uniswap的价钱调整则较大。

Uniswap和Curve之间的套利

当买卖的资产对价钱大致相等时，Curve的曲率要比Uniswap低得多。这意味着，纵然流动性较小场所的价钱颠簸很大，最终价钱也不会与Curve的报价相差太大。注重，这种套利在实践中极为普遍。以太坊上的套利机器人不停在Balancer、Uniwap、Curve池以及基于订单簿的买卖所中调整价钱。在我们即将揭晓的论文中，我们通过数学方式确定了这种效应。若是CFMM相对于参考市场具有更高的流动性，那么纵然参考市场价钱泛起较大误差，对无套利价钱的影响也将是最小的。我们证实，只要价钱跳跃是由某个（潜在的大）常数所限制，这一点就成立了。这一假设排除了极端情形，例如稳固币锚定完全脱钩。最后，在脚注0和脚注1，我们概述了在正式形貌曲率时需要思量的一些手艺和数学方面的思量。

sUSD的奇异案例

我们已经看到，低曲率的CFMM可以“将自己的意愿”强加给更广的市场。这也有助于注释另一个征象：价钱稳固。从2020年3月最先，Synthetix宣布将激励Curve上sUSD的流动性，以更好地支持sUSD锚定汇率。在Curve上建立这个sUSD池子对锚定发生了近乎直接的影响：sUSD最先加倍密切地追踪其他稳固币的价钱。下面，我们展示了从2019年终到2020年9月在Uniswap上sUSD的价钱。这个sUSD池子于2020年3月中旬正式启动（在平安事宜发生后不久重启）。从2020年3月尾到6月初，sUSD在Uniswap上的价钱很好地锚定了。我们预计，Curve和Uniswap之间的套利促成了这一效应：只要sUSD在锚定汇率四周的价钱颠簸是有界的，套利者就会被激励，使Uniswap的价钱与Curve的价钱保持一致。

请注重，sUSD在除Curve之外的所有其他市场都缺乏流动性，这导致Curve和所有其他市场之间的曲率差非常大。

同时，这些数据也显示了我们的两种市场模子的局限性。在6月份的第二周，sUSD最先加倍频仍地脱钩。这种新的情形险些与2020年6月收益农耕的泛起完全吻合。2020年6月上旬至中旬，Compound和Balancer启动了第一个流动性挖矿设计。SNX（sUSD的主要抵押品）的价钱最先泛起拐点，在6月份上涨了两倍多，并在整个夏日继续上涨。其他DeFi项目也启动了流动性挖矿，而稳固币是大多数流动性挖矿计谋的焦点。结果是，险些所有的稳固币因收益农耕的需求而增加了颠簸性。显然，我们的双市场模子并没有捕捉到这些因素。因此，我们需要将模子扩展到包罗收益农耕及其与曲率的相互作用。我们将在之后的文章中讨论这一扩展。

曲率的价值

低曲率是要举行权衡的，若是CFMM的曲率为零，则CFMM的报价不会发生转变，而无论买卖量是多少。因此，恒定和曲线（如mStable）为CFMM可持有的每个稳固币设置了界线，以防止LP完全持有显示最差的资产。

当资产高度相关且均值回复时，低曲率CFMM显示更好。在这种环境下，CFMM能够通过较低的曲率吸引更多的买卖量和用度，而均值回归则调治了无常损失的影响。稳固币与稳固币CFMM现在基本上遵照这一原则，对于债券等到期资产，CFMM也是云云。在下一篇文章中，我们将讨论在不对称信息、均值回归以及无常损失的情形下，LP的曲率权衡。

脚注：

[0] Curve和Uniswap的主要区别之一是，Curve的订价函数在价钱-数目空间的某个区域内“较平滑”，而在其他价钱区域内“较陡峭”。为什么人们更喜欢这种订价曲线转变的经济学直觉如下：

我们有两种资产，它们的价钱（相对于另一种）是均值回复和低差额（例如，它们的价钱通常是相等）的；

将这些资产保持在相互四周的买卖（例如“软”锚定）应该是廉价的，由于它们激励套利者实行锚定。这是通过使曲线变平来实现的，这样可以降低买卖者面临的滑点和市场打击；

然而，当资产“脱钩”时，买卖者会面临更高的滑点。这实际上是为了抵偿流动性提供者偏离锚定，并确保他们不会退出流动性，冻结市场；

与Uniswap对所有价钱都有一个更统一的曲率水平差异，Curve顺应了预期在其上举行买卖的价钱历程（例如均值回归、有界方差）。这个例子注释，CFMM订价函数的选择与买卖的资产类型以及保持流动性提供者满足所需的激励措施密切相关。

[1] 除了模糊不清的“更平滑”或“更陡峭”的看法，有没有设施使我们形式化？谜底是一定的，这要归功于卡尔·弗里德里希·高斯。在已往的几个世纪中，数学家们通过剖析和代数，来量化及分类几何直觉（geometric intuitions）。剖析和代数之间的主要联系之一，来自固有曲率的看法。曲面的固有曲率示意曲面上的小三角形面积与平面上周长相同的三角形的面积之比。固有曲率的一个要害特征是，它不依赖于曲面的偏向或参数化。例如，沙滩球在任何偏向上旋转任何角度时，其固有曲率都不会改变。我们可以将“固有”属性更一样平常地界说为：

对于任何旋转矩阵A和平移向量b，由f(Ax+b) = k界说的曲面与由 f(x) = k界说的曲面具有相同的曲率。

高斯的绝妙定理(Theorema Egregium)，是微分几何学早期的要害功效之一，它示意隐式界说曲面的曲率（例如，f(x) = k的曲面）是固有的。

这与CFMM曲率的直观看法有什么关系？回忆一下，界说CFMM的等效方式是通过买卖集，类似于其稳定函数的epigraph。该聚集的界限是由常函数稳定量界说的曲面。当我们谈到Curve 比Uniswap更平滑（曲率更低）时，我们提到的就是这个曲面的曲率。