量子力学典范例题阐明解答_数字货币

量子力学典范例题论说解答_物理_天然科学_专业材料。量子力学例题 第二章 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求在错误称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: 当 , 故有 应用波函数在 处的赓续前提 由 处无间条款: 由

量子力学例题 第二章 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: 当 , 故有 利用波函数正在 处的络续前提 由 处陆续条款: 由 处不绝条件: 给定一个 n 值,可解一个 , 为分别能级. 2． 粒子正在一维 势井中的举止 求粒子的限定定态能级与响应的归一化定态波函数 [解]格式的定态薛定谔方程为 当 时 对限度态 解为 正在 处一直性条款 将 代入得 又 反响归一化波函数为: 归一化波函数为: 3 分子间的范得瓦耳斯力所发作的势能可肖似地展现为 求节制态的能级所满足的方程 [解] 节制态下粒子能量的取值周围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为 当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数餍足的接续性条件,有 要使 有非零解 不行同时为零 则其系数构成的步队式必要为零 算计步队式,得方程 例题 重要模范: 1.算符运算; 一. 相关算符的运算 2.力学量的平均值; 3.力学量几率散播. 1.叙明如下对易闭连 (1) (2) (3) (4) (5) [证] (1) (2) (3) 普遍地,若算符 是任一标量算符,有 (4) 广大地,若算符 是任一矢量算符,可证明有 (5) =0 同理： 。 证实哈密顿算符为厄密算符 2. [解]接头一维景遇 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符 3 已知轨途角动量的两个算符 和 撮合的正交归一化本征函数完整集为 , 取: 应本征值 试表明: 也是 和 联结本征函数, 对 区别为: 。 [ 证] 。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 又: 的对应本征值为 的本征函数 可求出: 二.有闭力学量平均值与几率传播方面 1. (1)表明 态中的平均值 是 的一个本征函数并求出反应的 本征值；(2)求 x 在 [解] 即 是 的本征函数。本征值 2. 设粒子正在宽度为 a 的一维无穷深势阱中运动，如粒子的形式由波函数 描绘。求粒子能量的粗略值反应的概率及均衡值 【解】 宽度为 a 的一维无穷深势井的能量本征函数 仔细:是否归一化波函数 能量本征值 发现 的几率 , 发觉 的几率 能量平衡值 另一做法 3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描摹的态考中中，式中 数值；2）正在 （4） 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的 态中能量的大抵值，反响的概率及平衡值；（3） 时体系的波函数 ； 时能量的大约值呼应的概率及平均值 [解](1) , 归一化， ， ， （2） ， ， ； ， ； ， ； （3） 时， 以是： 时，能量的梗概值、呼应的概率、平均值同（2）。 4． 设氢原子处于样子 求氢原子的能量,角动量平方以及角动量 z 分量的大略值,这些大要值发明的几率和这些力学量 的均衡值。 [解] 能量本征值 能量本征 态 当 n=2 时 本征值 为的 ， 发明的几率为 100％ 大概值为 发明的几率分别为： 。 5 . 在轨道角动量 和 笼络的本征态 下,试求下列生机值 (1). ; (2) . [解 ]： 三 测不准合联 1. 粒子处于形式 式中 为常数,求粒子的动量的均衡值,并阴谋 测不准关系 [解]先归一化 (1) 动量均衡值 (2) (3) 附: 常用积分式： （1） （2） （3） 第四章 例题 1．力学量的矩阵显示 由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构酿成算符 和 试分歧：1）. 求 和 正在态 下的盼望值；2）. 给出 和 的物理路理 【解】（1）. 设态矢 已归一化 （粒子职位几率密度） （2） （利用 化到坐标气象） 又： , 上式 2.试道明：由肆意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 【证】（1）. 厄密算符的界说 ，（3）. 的本征值为 0 和 1 为厄密算符 (2) 已归一化 （3）. 由 的本征值方程 , 又： 即： （本题重要考察厄密算符概思，本征值方程，狄拉克标记的行使） 3.分别在坐标现象，动量征象，能量现象中写出一维无尽深势井中（宽度 ）基 态粒子的波函数。（本题紧急稽核波函数正在整个景色中的外示） 【解】 所描画的状态，基态波函数 （1）. 正在 x 表象： （2）. 动量征象： （3）. 能量地步 同样一个态在分歧景象中的吐露是差异的， 分别的地步是从分别侧面来举办形容 的. 4.取 和 的团结情景，正在 角动量空间中写出 ） , , 的矩 阵（本题紧急考核算符矩阵的求法 【解】 , 的联络本征函数为 在 空间 （1）. , 同样 （2） 利用: 行使正交归一条目: 同样 （3） 运用: 矩阵: 矩阵: 5.已知系统的哈密顿量 , 试求出 所正在的情景的正交归一化的本征矢组. （1）. 系统能量本征值及相应的在 （2）.将 【解】 对角化，并给出对角化的么正调换矩阵 （1）. 久期方程 解之 , 设正交归一的本征矢 对应于 本征矢 归一化 对应归一本征矢 同样 : : 即为 的本征函数集 （2）. 对角化后，对角元素即为能量本 转折矩阵为 6． 外明： 将算符矩阵 对角化的调动矩阵的每一列对应于算符的一个本征函 数矢量。 【证】 算符的本征矢： 则 F 算符在自己形势中为一对角矩阵： 对另一情景力学量的本征矢 的本征矢 7. 为厄密算符。 ②正在 A 景象下求算符 ① 求算 的矩阵外 符 示。 的本征值， [解]：① , 设 的本征值为 ,本征函数为 则 又 同理算 符 的本征值也为 . ② 为本征值，即 在 A 景色，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素 设 运用 B 为厄密算符 即 又 取： 第五章 浸点：微扰论 例题 1． 一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质地为的 质点 ，正在重力效率 下，质点正在竖直平面内摆动。i) 正在幼角相同下，求方式能级；ii) 求因为幼角类似的误差发作 的基态能量的甲等更正。 解：i ) 势能： 形式的哈密顿量 正在小角形似下: ii )若不琢磨幼角似乎 又 行使公式 , 同样 2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假使它处于基态，若正在加上一个弹力 功用 ，行使微扰论计算 对能量的甲等修正，并与平静解比拟。 解：i ) , 又 ii) 厉正解 发生了更动 3． 已知方式的能量算符为 量算符。（1）求形式能级的周到值。（2）视 , 其中 , 为轨道的角动 项为微扰项，求能级至二级近似值。 [解]：i) 仔细解 令 ， 并正在 平面上取方针 ： 与 z 轴的夹角为 ， 则 与 相互对易，它们的本征值分歧为 格局能级为 ii)微扰法 的周密解为 本征函数 本征能量 按微扰论 运用了公式 能量二级校正为 在二级雷同下 4． 三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函 数。如这振子又受到微扰 并和细致值比拟。 [解]： ， 的用意，求最低的两个能级的微扰革新。 （1 设 的能量本征函数为 代入方程 (2).基态的微绕改革 对基态 波函数 基态能级的零级 , 无简并 能量的二级更正: 唯一不等于零的矩阵元为 (3).第一激起态 三度简 并 算计 不为零的矩阵元为 久期方程 可求出能量的头等革新 (4).精细解 令 基态 第一激励态 5．设粒子的势能函数 是坐宗旨 n 次齐次函数， 试用变分法证实， 即 在限度态下，动能 T 及势能 V 的平均值 满阁下列关联 （维里定理） [证] 设粒子所用的态用归一化波函数 刻画 则 取试态波函数为 由归一化条款 当 时，试态波函数即是粒子所处的控制态波函数。 应在 时， 取极值 6. 氢原子处于基态，加上交变电场 , 电离能,用微扰论头等 相仿推算氢原子每秒离几率。 [解]：解这一类标题要搞清爽三个因素，初态末态是什么？微扰矩阵元 ? 初态：氢原子基态 末态: 自由形态 为能量为 , 正在单位立体角的末态密度。 微扰 7． 转动惯量为 I, 电偶极矩为 D 的平面转子，置于均匀场强 E（沿 x 方向）中，总能量算符成 为 基态能量仿佛值。 , 为挽救角(从 x 轴算起）要是电场很强， 很小，求 [解]：材干一 与一位谐振子的能量本征方程 比拟 有 才智二 用变分法，取归一化的摸索波函数 所得终局与手法二一律。 8．设在 外象中， 的矩阵展现为 个中 , 试用微扰论求能级二级更始 [解]：正在 景象中， 第六章 例题 1.相关泡利矩阵的少少联系的叙明（紧密应用极少已知结论） 1). ; (2). ; (3). (4).设 【证】 则 ; ， . （1）. (2). (3). (4). 2． 表明： 【证】 并应用此结论求 本征值 设 则 的本征函数为 又 , 3． 设为 【证】 将 常数，证据 发展成 的幂级数，有 , ， 为偶数 ； 为奇数 上式 4 ． 求自旋角动量在职意目的 象） ， （方位角为 ）的投影的本征值及本征矢（正在 表 【解】 在 现象中 ， 在 征象中的矩阵表露为 ， 设 的本征值为 ，呼应本征矢为 ，本征方程为 ＝ 解久期方程 ， 将 代入本征方程 由归一化条件 对应的本征矢为 同样： 对应的本征矢为 经验本题言论全班人们创造， 是 征值为 。 的本征值为 ，自旋算符 ，如有 在任意方向上的分量 的本征值为 的本征值也 ， 的本 。也进一步添补，对任一种角动量算符 则 在任意方进取的分量 的本征值的概略值也为 5 ． 有一个定域电子（不计议轨路举措）受平均磁场效用，磁场指向正 对象，磁感化势为 ，设 时电子的自旋进取，即 求 时 的平均值。 [解] 设自旋函数 正在情景中 格局的哈密顿算符可闪现为 则自旋态所餍足的薛定谔方程为 同理 又 ， 自旋 再由 即 6． 在自旋态 中，求 【解】 同理 7． 已知电子的态函数为 此中 已归一化 为 ， 为 ， 的几率。 求（1）.同时测量 （2）.电子自旋进步的几率。 （3）. 和 平均值。 [解]起头验证态函数是否归一化 [erfwfff1] ① 同时丈量 为 , 为 的几率 ② 电子自旋进取的几率： ③ 8． 会商由两个雷同粒子组成得体制。设或者的单粒子态为 ，试求方式的或者态数目。 分三种景遇言论（1） 。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子. [解] ①玻色子组成的格局，方式态函数必需是对称的 共三种 a. 如两个粒子处于统一单粒子态: b.如两个粒子处于不统一单粒子态 对称的波函数为 共三种,于是，对玻色子大概态数为六种， ① 费米子构成的形式，系统态函数必需是回嘴称的 全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.辩驳称波函数的体系只能是 共三种. ② 对经典粒子，全同粒子是可分辩的，粒子式样波函数没有对称性条目，波函数编制只须求 都可以） 的有三种， 的有六种的共九种。 9． 试写出自旋 的两个自正在电子所组成的全同体制的样式波函数。 [解] 自旋 的两电子组成的是费米子式样 ， 格局样式的波函数是评述称的 每个电子处于自由形态，单电子的样式波函数为平面波 它们所组成的对称波函数式样为 它们所构成的指摘称波函数体例为 二电子形式的自旋片面的对称或挑剔称波函数为： 总的波函数： 10． 叙明： 构成正交归一系。 [证]① ② ③ 11． 两个自旋为 的粒子有磁互相功用，设它们的质量很大，动能可以忽略， 求此格局的一律能量本征值和本征函数。 [解] 对两个自旋为 的方式，总自旋量子数 对 的本征函数为 本征值为 能量本征值 对 的本征函数

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