量子力学典型例题分析解答_数字货币

量子力学范例例题阐发解答_物理_天然科学_专业原料。量子力学例题 第二章 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求正在差池称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: 当 , 故有 哄骗波函数正在 处的持续条件 由 处继续恳求: 由

量子力学例题 第二章 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求在舛错称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: 当 , 故有 诈欺波函数正在 处的无间央浼 由 处连接央浼: 由 处一直要求: 给定一个 n 值,可解一个 , 为星散能级. 2． 粒子在一维 势井中的举止 求粒子的节制定态能级与反应的归一化定态波函数 [解]体例的定态薛定谔方程为 当 时 对限度态 解为 正在 处陆续性苦求 将 代入得 又 呼应归一化波函数为: 归一化波函数为: 3 分子间的范得瓦耳斯力所发生的势能可宛如地显露为 求限度态的能级所餍足的方程 [解] 节制态下粒子能量的取值畛域为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为 当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数知足的不时性乞请,有 要使 有非零解 不行同时为零 则其系数构成的部队式必需为零 阴谋队伍式,得方程 例题 主要典范: 1.算符运算; 一. 有合算符的运算 2.力学量的均衡值; 3.力学量几率分布. 1.说明如下对易合连 (1) (2) (3) (4) (5) [证] (1) (2) (3) 大凡地,若算符 是任一标量算符,有 (4) 通常地,若算符 是任一矢量算符,可注解有 (5) =0 同理： 。 注脚哈密顿算符为厄密算符 2. [解]思索一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符 3 已知轨说角动量的两个算符 和 协同的正交归一化本征函数完美集为 , 取: 应本征值 试注明: 也是 和 协同本征函数, 对 散开为: 。 [ 证] 。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 又: 的对应本征值为 的本征函数 可求出: 二.有关力学量均衡值与几率宣传方面 1. (1)声明 态中的平衡值 是 的一个本征函数并求出相应的 本征值；(2)求 x 在 [解] 即 是 的本征函数。本征值 2. 设粒子在宽度为 a 的一维无穷深势阱中举止，如粒子的形态由波函数 描摹。求粒子能量的可以值反应的概率及均衡值 【解】 宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数 详明:是否归一化波函数 能量本征值 发现 的几率 , 发觉 的几率 能量均衡值 另一做法 3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描摹的态登第中，式中 数值；2）正在 （4） 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的 态中能量的可以值，反应的概率及平均值；（3） 时编制的波函数 ； 时能量的可以值相应的概率及平衡值 [解](1) , 归一化， ， ， （2） ， ， ； ， ； ， ； （3） 时， 因而： 时，能量的能够值、呼应的概率、均衡值同（2）。 4． 设氢原子处于状态 求氢原子的能量,角动量平方以及角动量 z 分量的可能值,这些可以值创造的几率和这些力学量 的均衡值。 [解] 能量本征值 能量本征 态 当 n=2 时 本征值 为的 ， 创造的几率为 100％ 可以值为 发明的几率散开为： 。 5 . 正在轨说角动量 和 协同的本征态 下,试求下列向往值 (1). ; (2) . [解 ]： 三 测反对干系 1. 粒子处于状况 式中 为常数,求粒子的动量的平衡值,并计算 测阻止相干 [解]先归一化 (1) 动量平均值 (2) (3) 附: 常用积分式： （1） （2） （3） 第四章 例题 1．力学量的矩阵呈现 由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构酿成算符 和 试分离：1）. 求 和 在态 下的怀思值；2）. 给出 和 的物理道理 【解】（1）. 设态矢 已归一化 （粒子因素几率密度） （2） （愚弄 化到坐标景象） 又： , 上式 2.试谈明：由随便一对以归一化的共轭右矢和左矢组成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 【证】（1）. 厄密算符的定义 ，（3）. 的本征值为 0 和 1 为厄密算符 (2) 已归一化 （3）. 由 的本征值方程 , 又： 即： （本题沉要视察厄密算符概想，本征值方程，狄拉克标记的操纵） 3.涣散正在坐标现象，动量情景，能量景色中写出一维无穷深势井中（宽度 ）基 态粒子的波函数。（本题重要考核波函数在注意情景中的再现） 【解】 所描摹的状况，基态波函数 （1）. 在 x 气象： （2）. 动量景象： （3）. 能量地步 同样一个态在差异景象中的外示是不同的， 分裂的形势是从差别侧面来实行描述 的. 4.取 和 的合资现象，正在 角动量空间中写出 ） , , 的矩 阵（本题紧张考试算符矩阵的求法 【解】 , 的协同本征函数为 正在 空间 （1）. , 同样 （2） 愚弄: 诈骗正交归一央求: 同样 （3） 哄骗: 矩阵: 矩阵: 5.已知体例的哈密顿量 , 试求出 所正在的现象的正交归一化的本征矢组. （1）. 体例能量本征值及相应的在 （2）.将 【解】 对角化，并给出对角化的么正更换矩阵 （1）. 久期方程 解之 , 设正交归一的本征矢 对应于 本征矢 归一化 对应归一本征矢 同样 : : 即为 的本征函数集 （2）. 对角化后，对角元素即为能量本 蜕变矩阵为 6． 注明： 将算符矩阵 对角化的蜕变矩阵的每一列对应于算符的一个本征函 数矢量。 【证】 算符的本征矢： 则 F 算符在自己征象中为一对角矩阵： 对另一气象力学量的本征矢 的本征矢 7. 为厄密算符。 ②正在 A 景象下求算符 ① 求算 的矩阵外 符 示。 的本征值， [解]：① , 设 的本征值为 ,本征函数为 则 又 同理算 符 的本征值也为 . ② 为本征值，即 在 A 情景，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素 设 欺诳 B 为厄密算符 即 又 取： 第五章 焦点：微扰论 例题 1． 一根长为 ，无质地的绳子一段固定于支点，另一端系质料为的 质点 ，正在沉力作用 下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角坊镳下，求体系能级；ii) 求由于幼角好像的差错爆发 的基态能量的上等订正。 解：i ) 势能： 体例的哈密顿量 在幼角宛若下: ii )若不考虑小角恰似 又 哄骗公式 , 同样 2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，若是它处于基态，若正在加上一个弹力 服从 ，利用微扰论算计 对能量的优等批改，并与严格解斗劲。 解：i ) , 又 ii) 郑重解 爆发了变革 3． 已知编制的能量算符为 量算符。（1）求体系能级的仔细值。（2）视 , 其中 , 为轨叙的角动 项为微扰项，求能级至二级彷佛值。 [解]：i) 具体解 令 ， 并正在 平面上取方向 ： 与 z 轴的夹角为 ， 则 与 相互对易，它们的本征值分散为 系统能级为 ii)微扰法 的具体解为 本征函数 本征能量 按微扰论 诳骗了公式 能量二级厘正为 正在二级相似下 4． 三维谐振子，能量算符为 ，试写出能级和能量本征函 数。如这振子又受到微扰 并和精确值对照。 [解]： ， 的效果，求最低的两个能级的微扰修正。 （1 设 的能量本征函数为 代入方程 (2).基态的微绕订正 对基态 波函数 基态能级的零级 , 无简并 能量的二级改良: 唯一不等于零的矩阵元为 (3).第一激发态 三度简 并 推算 不为零的矩阵元为 久期方程 可求出能量的头等改正 (4).详明解 令 基态 第一引发态 5．设粒子的势能函数 是坐倾向 n 次齐次函数， 试用变分法证明， 即 在节制态下，动能 T 及势能 V 的平衡值 满大驾列合系 （维里定理） [证] 设粒子所用的态用归一化波函数 形容 则 取试态波函数为 由归一化条件 当 时，试态波函数就是粒子所处的限定态波函数。 应在 时， 取极值 6. 氢原子处于基态，加上交变电场 , 电离能,用微扰论头等 雷同推算氢原子每秒离几率。 [解]：解这一类题目要搞领略三个因素，初态末态是什么？微扰矩阵元 ? 初态：氢原子基态 末态: 自由形态 为能量为 , 正在单位立体角的末态密度。 微扰 7． 变动惯量为 I, 电偶极矩为 D 的平面转子，置于平均场强 E（沿 x 偏向）中，总能量算符成 为 基态能量彷佛值。 , 为挽回角(从 x 轴算起）假若电场很强， 很幼，求 [解]：要领一 与一位谐振子的能量本征方程 比力 有 方法二 用变分法，取归一化的探索波函数 所得结果与法子二一致。 8．设在 情景中， 的矩阵体现为 个中 , 试用微扰论求能级二级删改 [解]：正在 景象中， 第六章 例题 1.相合泡利矩阵的少许联系的诠释（精确独揽极少已知结论） 1). ; (2). ; (3). (4).设 【证】 则 ; ， . （1）. (2). (3). (4). 2． 声明： 【证】 并诈欺此结论求 本征值 设 则 的本征函数为 又 , 3． 设为 【证】 将 常数，注释 开展成 的幂级数，有 , ， 为偶数 ； 为奇数 上式 4 ． 求自旋角动量正在职意方向 象） ， （方位角为 ）的投影的本征值及本征矢（在 表 【解】 在 征象中 ， 正在 征象中的矩阵外示为 ， 设 的本征值为 ，相应本征矢为 ，本征方程为 ＝ 解久期方程 ， 将 代入本征方程 由归一化条件 对应的本征矢为 同样： 对应的本征矢为 进程本题商酌咱们出现， 是 征值为 。 的本征值为 ，自旋算符 ，如有 正在任意方向上的分量 的本征值为 的本征值也 ， 的本 。也进一步推论，对任一种角动量算符 则 在任意方进取的分量 的本征值的可以值也为 5 ． 有一个定域电子（不思索轨说活动）受均匀磁场恶果，磁场指向正 倾向，磁恶果势为 ，设 时电子的自旋向上，即 求 时 的平衡值。 [解] 设自旋函数 正在外象中 体例的哈密顿算符可显露为 则自旋态所满意的薛定谔方程为 同理 又 ， 自旋 再由 即 6． 正在自旋态 中，求 【解】 同理 7． 已知电子的态函数为 其中 已归一化 为 ， 为 ， 的几率。 求（1）.同时丈量 （2）.电子自旋进取的几率。 （3）. 和 平均值。 [解]起头验证态函数是否归一化 [erfwfff1] ① 同时丈量 为 , 为 的几率 ② 电子自旋进步的几率： ③ 8． 考虑由两个同等粒子构成得编制。设能够的单粒子态为 ，试求系统的可以态数目。 分三种情形商榷（1） 。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子. [解] ①玻色子构成的编制，编制态函数务必是对称的 共三种 a. 如两个粒子处于统一单粒子态: b.如两个粒子处于不同一单粒子态 对称的波函数为 共三种,以是，对玻色子可能态数为六种， ① 费米子组成的系统，系统态函数必须是阻止称的 全同费米子不行处于统一态上（泡利理由）.制止称波函数的格局只可是 共三种. ② 对经典粒子，全同粒子是可判别的，粒子系统波函数没有对称性请求，波函数形式只要求 都没关系） 的有三种， 的有六种的共九种。 9． 试写出自旋 的两个自正在电子所组成的全同体例的状态波函数。 [解] 自旋 的两电子构成的是费米子编制 ， 体系状况的波函数是不准称的 每个电子处于自由状况，单电子的状态波函数为平面波 它们所构成的对称波函数式样为 它们所构成的制止称波函数格式为 二电子编制的自旋部分的对称或不准称波函数为： 总的波函数： 10． 解讲： 组成正交归一系。 [证]① ② ③ 11． 两个自旋为 的粒子有磁彼此效能，设它们的质地很大，动能可能疏忽， 求此体系的总共能量本征值和本征函数。 [解] 对两个自旋为 的系统，总自旋量子数 对 的本征函数为 本征值为 能量本征值 对 的本征函数

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